已知直线y=

3

4

x+b与抛物线y=ax²交于点A（1，-

1

4

），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移m个单位（m＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，求m的值；
（3）如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n的值；若不存在，请说明理由．

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），PC的长为；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中（如图①是该过程的某个时刻），请你观察、猜想，并解答：

PF

PE

的值是否发生变化？如果不变，只需直接写出比值，如果发生变化，请简单说明理由．
（3）连接PB，如图③，在直角尺旋转过程中，随着点E和F位置的改变，我们容易发现，当BE=PE时，
EF垂直平分PB，请计算求出这时点E在距离A点多远处？

已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）若O为AB的中点（如图1），则ED与EC的大小关系为：EDEC．（填“＞““＜““=“）
（2）若OA＜3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？
（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长．

在△ABC中，∠BAC=90°，取BC中点D，连接AD，BE是∠ABC的角平分线，BE交AD于点E，在BC上取一点F，使∠BFE=∠BAE，连接AF．
（1）求证：AB=BF；
（2）求证：30°-

1

3

∠EAF=∠EBD．

如图，在四边形ABCD中，DE∥BC，BD=CD，∠BCE=90°，以BD为直径的⊙O交CE于F、G，交BC于M．
（1）求证：BC=2DE；（2）求证：EF=CG．

如图，已知抛物线y=a（x-1）（x-3）与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y轴交于点C，且抛物线过点M（4，3），连接AC、BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求sin∠ACB的值；
（3）在线段BC上是否存在一点Q，过点Q作QP平行于y轴交抛物线于点P，使线段PQ取得最大值？如果存在，求出点Q的坐标和PQ的最大值；如果不存在，请说明理由；
（4）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，过点M的直线y=kx+b与此新图象只有三个交点，求b值．

如图，对称轴为x=1的抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（3，0），另一个交点为A，与y轴交于点E，且经过点C（4，m）．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）连接OC、CB，若点P在抛物线上，且S_△POE=

1

2

S_△BOC，求点P的坐标；
（3）若点Q是线段AC上的动点，作QF⊥x轴交抛物线于F，求线段QF长度的最大值．

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=4，直线y=2x-4经过点C，交y轴于点G．
（1）点C、D的坐标分别是C （，），D（，）；
（2）求顶点在直线y=2x-4上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y=2x-4平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在△ABC中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，AB=6，点C在y轴负半轴上，且OC=5，抛物线y=a（x-2）²+k经过△ABC的三个顶点．
（1）求抛物线解析式的一般式；
（2）设横坐标为t的点P为抛物线上位于直线BC下方的一点，过点P作PQ∥BC交x轴于点Q，若直线PQ与直线BC之间的距离为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PA交BC于点E，当t为何值时，使AE=2PE？请说明理由．