如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）试探究线段CD、DE、EO之间的等量关系，并加以证明；
（2）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的长．

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AB=10米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△AMN的面积为6米？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

先化简再求值：（

3x

x-1

-

x

x+1

）•

x2-1

x

，然后请你取一个合适的x值代入求值．

已知|2x-24|+（3x-y-k）²=0，若k＞0，求y的取值范围．

（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．

如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S₁（cm²）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S₂（cm²）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：
（1）求a、b、c的值；
（2）设点P出发x（秒）后离开点A的路程为y（cm），请写出y与x的函数关系式，并求出点P与Q相遇时x的值．

【观察发现】如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成的锐角的度数．（只要求写出结论，不必说出理由）
【深入探究】如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与【观察发现】中的条件相同，【观察发现】中的结论是否还成立？请说明理由
【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=6，BD=10，求边CD的长度．

如图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E．试说明AD∥BC．完成推理过程：
∵AB∥DC（已知）
∴∠1=（）
∵AE平分∠BAD（已知）
∴∠1=∠2 （角平分线的定义）
∴=（）
∵∠CFE=∠E（已知）
∴∠2=（等量代换）
∴AD∥BC （）

（1）解方程：x²+4x-3=0；  
（2）解不等式组

1-2(x-1)≤5 3x-2 2 ＜x+ 1 2

，并把解集在数轴上表示出来．

如图，为测得某一湖泊的宽度，在A处的正上方G处有一架飞行的飞机，此时正好测得湖泊东岸的点C处的俯角为30°，湖泊西岸的点B处的俯角为60°，此时飞机离地面的高度为900米，则湖泊的宽度是多少米？