8．已知二次函数y₁=-x²-2mx-m²-1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）当m=1时，将函数y₁=-x²-2mx-m²-1的图象向上平移5个单位，得到函数y₂=-x²+bx+c的图象，且y₂=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，如图所示．
①求点A、B、C的坐标；
②如图，矩形MPQN的顶点M、N在线段AB上（点M在点N的坐标且不与点A、B重合），顶点P、Q在抛物线上A、B之间部分的图象上，过A、C两点的直线与矩形边MP相交于点E，当矩形MPQN的周长最大时，求△AME的面积；
③当矩形MPQN的周长最大时，在坐标轴上是否存在点D，使得△ACD的面积与②中△AME的面积相等？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）²-4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．
（1）求抛物线的解析式、直线AB的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．
问题一：当t为何值时，△OPQ为等腰三角形？
问题二：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．

6．在△ABC中，AD是BC边上的高，⊙P是△ABC的外接圆．
（1）如图1，若AD=5，BD=1，BC=6，求⊙P的半径；
（2）如图2，若∠ABC=75°，∠ACB=45°，I是△ABC的内心，求$\frac{AI}{AP}$的值；
（3）如图3，若∠ABC-∠ACB=30°，当B，C运动时，$\frac{DC-BD}{AP}$的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．

5．已知：二次函数y=x²+2x-3与x轴交于点A、点B（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．连接AD、CD，过点A、点C作直线AC．
（1）求点B、D的坐标及直线AC的解析式；
（2）若点E为抛物线上一点，点F为直线AC上一点，且E、F两点的纵坐标都是2，求线段EF的长；
（3）该抛物线上是否存在点P，使得∠APB=∠ADC？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，?ABCD中，对角线BD⊥AB，AD=5cm，CD=4cm，动点E从点C出发，沿C-D方向以1cm/s的速度运动，动点F从点A出发，沿A-D-B方向以2cm/s的速度运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．连接EF并延长交BA的延长线于点M．设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AMDE是平行四边形？
（2）设四边形BCEF的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）直接写出使△BEF是等腰三角形的t的值．

3．若a+b-c=3，a²+b²+c²=3，那么a²⁰¹³+b²⁰¹³+c²⁰¹³=1．

2．已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点D（1，3），并经过点A（X₀，0），2≤X₀≤6，其中a、b、c为常数，
（1）求常数a的取值范围；
（2）若等腰三角形△DEF的E、F在抛物线上，DE=DF，且△DEF的面积为-8a，且EF到x轴的距离等于2，求该抛物线的解析式；
（3）若a=-1，抛物线与y轴于C点，B（2，0），P是线段OB上的动点，把射线CP逆时针旋转45°成为射线CQ，在射线CQ、CP上是否存在点M、N使得BM+MN+NB最小？如果存在，当使得BM+MN+NB最小时，求由BM、MN、NB组成的三角形面积的最大值；如果不存在，说明理由．

1．问题提出：有同样大小正方形256个，拼成如图1所示的16×16的一个大的正方形．请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过多少个小正方形？

我们先考虑以下简单的情况：一条直线穿越一个正方形的情况．（如图2）
从图2中我们可以看出，当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线最多与正方形上、下、左、右四条边中的两个边相交，所以当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线会与其中某两条边产生两个交点，并且以两个交点为顶点的线段会全部落在小正方形内．
这就启发我们：为了求出直线L最多穿过多少个小正方形，我们可以转而去考虑当直线L穿越由小正方形拼成的大正方形时最多会产生多少个交点．然后由交点数去确定有多少根小线段，进而通过线段的根数确定下正方形的个数．
再让我们来考虑3×3正方形的情况（如图3）：为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个3×3的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过3×3正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的两条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的四条线段；这样直线L最多可穿过3×3的大正方形中的六条线段，从而直线L上会产生6个交点，这6个交点之间的5条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过5个小正方形．
问题解决：
（1）有同样大小的小正方形16个，拼成如图4所示的4×4的一个大的正方形．请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过7个小正方形？
（2）有同样大小的小正方形100个，拼成10×10的一个大的正方形．请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过19个小正方形？
（3）有同样大小的小正方形256个，拼成16×16的一个大的正方形．请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过31个小正方形？
（4）请问如果用一条直线穿n×n大正方形的话，最多可以穿过2n-1个小正方形？
拓展探究：
（5）请问如果用一条直线穿2×3大长方形的话（如图5），最多可以穿过4个小正方形？
（6）请问如果用一条直线穿3×4大长方形的话（如图6），最多可以穿过6个小正方形？
（7）请问如果用一条直线穿m×n大长方形的话，最多可以穿过m+n-1个小正方形？
请将你的推理过程进行简要的叙述．
类比探究：由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，平面中的正方形中四条边可联想到正方体中的正方形的六个面，类比上面问题解决的方法解决如下问题．
（8）如图①有同样大小的小正方体8个，拼成如图①所示的2×2×2的一个大的正方体．请问如果用一条直线穿过这个大正方体的话，最多可以穿过多少个小正方体？

（9）请问如果用一条直线穿过n×n×n大正方体的话，最多可以穿过多少个小正方体？

13．已知关于x的分式方程$\frac{a-x}{x+2}=1$有增根，则a=-2．

12．观察下列各单项式：a，-2a²，4a³，-8a⁴，16a⁵，-32a⁶，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（　　）

A．

-29a10

B．

29a10

C．

210a10

D．

-210a10