10．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax²+bx+c过点C，动点P从点A出发，以每秒$\frac{1}{2}$个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？

9．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，-3），直角顶点B在第一象限；抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b，c为常数）的顶点为P．
（1）若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c过A，B两点，则抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1；
（2）设点M是（1）中的抛物线上点，点N是BC的中点，平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q；
（Ⅰ）若点M在直线AC上方，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求处所有符合条件的点M的坐标；
（Ⅱ）连接NP、BQ，试探究$\frac{PQ}{NP+BQ}$是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由．

8．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P在直线OB上运动且满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，则PA：PC=（　　）

A．

$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

B．

$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$

C．

$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$或$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$

D．

以上都不对

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A开始沿折线AC→CB→BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒$\frac{4}{3}$个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P与直线l同时停止运动．当点P在BA边上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q，若形成的四边形PEQF为菱形，则t=$\frac{6}{5}$或$\frac{30}{7}$．

6．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，AD⊥BC于D，B点与坐标原点重合，C点坐标为（4、0），点P、Q分别为B、C两点同时出发，点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为t（s）．
（1）求A点坐标；
（2）t为何值时，PQ⊥AC；
（3）设△PQD的面积为S，求S与t的函数关系式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，写出相应位置关系的取值范围．

5．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴上，以A、P、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）若⊙M的半径为1，圆心M在抛物线上运动，当⊙M与y轴相切时，求⊙M上的点到点C的最短距离．

4．已知抛物线${C_1}：y=a{（{x+2}）^2}-3$顶点为P，与y轴交于D（0，-1）．
（1）求点P的坐标及a的值；
（2）如图（1），将抛物线C₁作关于原点O对称，得到抛物线记为C₂，求抛物线₂的解析式；
（3）如图（2），抛物线C₂的顶点为Q，直线$y=-\frac{1}{2}x+1$交y轴于A，交x轴于B，与抛物线C₂在对称轴右侧交于点E．现将抛物线C₂沿直线AB方向平移，当抛物线C₂的顶点平移到x轴上时，记平移后抛物线为C₃，求抛物线C₃的解析式，并求抛物线C₂上 Q、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=4，CD=6，AB=10．点P从点B匀速向点A运动，速度为2个单位/秒．过点P作直线BC的垂线PE，E为垂足，直线PE将梯形ABCD分成两部分．
（1）∠A=60°；
（2）将左下部分以PE为对称轴向上翻折．若两部分重合的面积为S，试求出S与运动时间t之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若B点的对应点为B′，在整过运动过程中，是否存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

2．（1）如图1，四边形ABEC是正方形，点D为△ABC内一点，且BD=AB，CD=AD，求∠CBD的度数和∠CBD与∠DBA的度数比值．
（2）如图2，若把（1）中的△ABC变为一般的三角形（∠BAC≠90°，AC≠AB），但D依然是△ABC内一点，且满足∠BAC=2∠BCA，BD=AB，CD=AD，此时∠CBD与∠DBA的度数比值是否与（1）中的相同，写出你猜想的结论并加以证明．

1．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$4\sqrt{3}$，∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在直线OB上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）如果取OB的中点C，以OC为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形OCDE，点D在线段AB上，设等边△PMN与矩形OCDE重叠部分的面积为S，请求出S与t（0≤t≤4）的函数关系式．
（3）在动点P从A向B的运动过程中，将△PMN沿着PN折叠，点M与点H重合，请问，是否存在点P和点H，使△PDH是等腰三角形？若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
（4）当点P到达D时，将△PMN绕着点P旋转，射线PM、PN与线段OB交于S、T两点，当∠BDT=15°时，线段TB和OS满足什么数量关系？