5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5，BD=2，则AE的长为（　　）

A．

$\frac{4}{25}$

B．

$\frac{4}{5}$

C．

$\frac{32}{25}$

D．

$\frac{21}{5}$

4．如图①，在矩形ABCD中，M为BC上任一点，现将三角板放在矩形ABCD上，使三角板的直角顶点P与点M重合，三角板的一边所在直线过点D，另一边交AB于F．
（1）如果$\frac{AB}{BM}$=1，求证：PF=PD；
（2）如图②，移动三角板，使定点P始终在AM上，且直角的两边与AB、AD交于F、E，若$\frac{AB}{BM}$=$\frac{m}{n}$，请直接写出$\frac{PF}{PE}$的值；
（3）如图③，将（2）中的“矩形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，且使原三角板改为钝角三角形，并使∠FPE=∠D，钝角的两边与AB、AD交于F、E，其他条件不变，问（2）中$\frac{PF}{PE}$的值是否仍然成立？若成立，请给予证明，不成立，说明理由．

3．如图1，直角梯形ABCD中，BC=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，点P为边AD上一点，BC=PB．
（1）求证：∠CBP=2∠DCP；
（2）如图2，若∠ABP的平分线交CP的延长线于点E，连接DE，求证：BE+DE=$\sqrt{2}$CE；
（3）在（2）的条件下，若AB=1，BC=2，请直接写出线段CE的长为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

2．如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F
（1）求证：AE=AF；
（2）连接EF，N为EF之中点，连接BN，求$\frac{BN}{CE}$的值；
（3）以BF为边作正方形BFMH，如图2，CH与AF相交于点Q，当E在CD上运动（不与C、D重合），问∠CQD的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请指出其范围．

1．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A₁B₁C₁．
﹙1﹚将△ABC，△A₁B₁C₁如图②摆放，使点A₁与B重合，点B₁在AC边的延长线上，连接CC₁交BB₁于点E．求证：∠B₁C₁C=∠B₁BC．
﹙2﹚若将△ABC，△A₁B₁C₁如图③摆放，使点B₁与B重合，点A₁在AC边的延长线上，连接CC₁交A₁B于点F．试判断∠A₁C₁C与∠A₁BC是否相等，并说明理由．

12．思考探究
思考．
（1）计算：$\sqrt{{2}^{2}}$=2；$\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$；$\sqrt{{0}^{2}}$=0．
（2）计算：（$\sqrt{2}$）²=2；（$\sqrt{\frac{2}{3}}$）²=$\frac{2}{3}$；（$\sqrt{0}$）²=0．
探究
（3）对于任意实数a，$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|．
（4）对于任意非负实数a，（$\sqrt{a}$）²=a．

11．如图所示，在函数y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$（x＞0）的图象上，△P₁OA，△P₂A₁A₂，△P₂A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，且直角边OA₁，A₁A₂，…，A_n-1A_n都在x轴上，则A_n的坐标为P_n[1+$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{16}$+…（$\frac{3}{4}$）^n-1，（$\frac{3}{4}$）^n-1]．

10．如图，
（1）求二次函数的解析式．
（2）设二次函数与x轴的另一个交点为D，并在抛物线的对称轴上找一点P，使三角形PBD的周长最小，求出点D和点P的坐标．
（3）在直线CD下方的抛物线上是否存在一点E，使得△DCE的面积最大，若有求出点E坐标及面积的最大值．

9．若将抛物线F：抛物线y=x²+bx$\frac{9}{2}$改成y=ax²+bx+c，抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．且a、b、c满足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

8．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD交BE于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：AD=BE；
（2）设∠BPQ=α，那么α的大小是否随D、E的位置变化而变化？请说明理由；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．