8．如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A，B，C的坐标分别为（3，1），（3，3），（3-$\sqrt{3}$，2），现以原点为对称中心作△ABC的中心对称图形，得△A₁B₁C₁，再以y轴为对称轴作△A₁B₁C₁的对称图形，得△A₂B₂C₂．
（1）直接写出C₁，C₂的坐标；
（2）能否通过一次旋转，将△ABC旋转到△A₁B₁C₁的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的角度；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
（3）设当△ABC的位置发生变化时，△A₂B₂C₂，△A₁B₁C₁与△ABC之间的对称关系始终保持不变，当△ABC向下平移多少个单位时，△ABC与△A₂B₂C₂完全重合？并直接写出此时点C的坐标．

7．如图①，△ABC是等边三角形，AB=AE，连接CE交AB于点H，
（1）求证：∠BAE=2∠BCE；
（2）如图②，延长线AE，CB交于点F，点D在CB上，连接AD交CE于点G，当FA=FD时，求证：AH=BD；
（3）如图③，在（2）的条件下，把△ACD沿AD翻折，得到△AKD，K与C对应，AK交CE于点T，若CG=6，TG=4，求线段DG的长．

6．等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E落在了AD上，连接CE，将线段EC绕点E顺时针旋转一定的角度，使得点C落在了点F处，且满足∠CEF=∠CAB，连接BF．

（1）若∠BAC=60°（如图1），则线段AE与BF的数量关系为AE=BF；
（2）若∠BAC=90°（如图2），求证：BF=$\sqrt{2}$AE；（写出证明过程）
（3）在（2）的条件下（备用图），连接FD并延长分别交CE、CA于点M、N，BC=8，$FD=\sqrt{10}DE$，求△CMN的面积．

5．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐变小．
（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，S_△ADB+S_△CEB的值是否为一定值？如果是，求出此定值；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．

4．已知如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠B=$\frac{1}{2}$，作∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAC，AD交BC于点D，AF交BC于点F，将点D沿直线AF翻折得到对称点E，连接CE、DE．
（1）求证：BD=CE；
（2）如图2，过点E作AC的垂线交AC于N，交直线AF于M，若∠AME=45°，AD=5$\sqrt{2}$时，求线段FG的长．

3．设x₁、x₂是方程x²-7x+3=0的两根，则$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{3}{7}$．

2．如图1所示，已知矩形ABCD中，AB=6cm，对角线AC=10cm，将矩形ABCD沿AC方向平移a cm得到矩形A′B′C′D′，A′B′交BC于M，A′D交CD于点N．

（1）求$\frac{{A}^{′}M}{{A}^{′}N}$；  
（2）如图2，把图1中的矩形A′B′C′D′绕A点顺时针转某一角度，其他条件不变，证明（1）是否成立，请说明理由；
（3）如图3所示，在（2）的条件下，当矩形A′B′C′D′旋转A′D′过点D时，△A′MC为等腰三角形，求a的值．

1．如图，P、Q是Rt△ABC斜边AB上的点，AQ=AC，BP=CB，△ABC内切圆半径为5，则△CPQ外接圆半径为5$\sqrt{2}$．

10．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于$\frac{1}{2}BF$长为半径画弧，两弧交于一点P，连
接AP并延长交BC于点E，连接EF． 
（1）四边形ABEF是菱形；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为10$\sqrt{3}$，∠ABC=120°．（直接填写结果）

9．如图，抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+$\sqrt{2}$，2）或（1-$\sqrt{2}$，2）．