6．阅读与思考：
   婆罗摩笈多是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明如下：
    已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于点F，求证：F是AD中点
 证明∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，∴AF=DF即F是AD中点．
请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定理的证明：
（1）如图1，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，F为AD中点，连接FM并延长交BC于点E，求证：ME⊥BC．
（2）已知：如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD交BC于点P，作ON⊥CD于点N，连接并延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA并求PN的长．

5．小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：
服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，乙种每件进价60元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？
（2）服装店在销售中发现：甲服装平均每天可售出20件，每件盈利40元．经市场调查发现：如果每件甲服装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天销售甲服装上盈利1200元，那么每件甲服装应降价多少元？

4．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴、y轴上，O为坐标原点，且OA=8，OC=4，连接AC，将矩形OABC对折，使点A与点C重合，折痕ED与BC交于点D，交OA于点E，连接AD，如图①．

（1）求点D的坐标和AD所在直线的函数关系式；
（2）⊙M的圆心M始终在直线AC上（点A除外），且⊙M始终与x轴相切，如图②．
①求证：⊙M与直线AD相切；
②圆心M在直线AC上运动，在运动过程中，能否与y轴也相切？如果能相切，求出此时⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切时的圆心M的坐标；如果不能相切，请说明理由．

3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，-1）．
（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A₁B₁C₁（△ABC与△A₁B₁C₁在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A₁，B₁，C₁）．
（2）利用方格纸标出△A₁B₁C₁外接圆的圆心P，P点坐标是（3，1），⊙P的半径=$\sqrt{10}$．（保留根号）

2．某校1000名学生参加了全区组织的“经典诵读”活动，该校随机选取部分学生，对他们在三、四两个月的诵读时间进行调查，下面是根据调查数据制作的统计图表的一部分．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数为100人；
（2）四月日均诵读时间的统计表中的a值分别为32；
（3）在被调查的学生中，四月份日人均诵读时间在1＜x≤1.5范围内的人数比三月份在此范围的人数多30人；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校学生四月份人均诵读时间在1小时以上的人数．

1．如图，矩形纸ABCD，AB=3，AD=6，动点Q从点A出发以每秒1个单位长的速度沿AB向终点B运动，运动$\frac{2}{3}$秒时，动点P从点D出发以相等的速度沿DA向终点A运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．将△APQ沿PQ翻折，得到△EPQ
（1）用含t的代数式表示AP=6-t，AQ=$\frac{2}{3}$+t；
（2）连接BD，在运动过程中，当△PQE∽△BDC时，求t的值；
（3）在运动的过程中，∠PQE能否等于∠ABD的一半？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．（参考数据：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{5}$=2.2）

20．如图1是手机放在手机支架上，其侧面示意图如图2所示，AB，CD是长度不变的活动片，一端A固定在0A上，另一端B可在OC上变动位置，若将AB变到AB′的位置，则0C旋转一定角度到达OC′的位置．已知OA=8cm，AB⊥OC，∠BOA=60°，sin∠B′AO=$\frac{9}{10}$，则点B′到OA的距离$\frac{18\sqrt{3}}{5}$cm．

19．如图，在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，若DF=CF，则$\frac{AD}{AB}$的值$\sqrt{2}$．

18．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的$\frac{1}{2}$后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为1．

17．在△ABC中，AB=4$\sqrt{2}$，BC=6，∠B=45°，D为BC边上一动点，将△ABC沿着过点D的直线折叠使点C落在AB边上，则CD的取值范围是6$\sqrt{2}$-6≤CD≤5．