10．小华带15元钱去商店购买跳绳和毽子两种体育用品（跳绳和毽子都要购买），已知跳绳单价5元/根，毽子单价3元/个，那么毽子最多能买3个．

9．求证：$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{（a-c）^{2}}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}}$是有理数．

8．如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以D为顶点作∠MDN=∠C．
（1）观察发现：当射线DM经过点A时，DN交AB于点E，不添加任何辅助线，请填空：与△ADE相似的三角形是△ABD，△ACD，△BDE．
（2）探究表明：如图2，将∠MDN绕点D沿顺时针方向旋转，DN、DM分别交线段AB、AC于E、F两点（点E与点A不重合），不添加辅助线，证明：△BDF∽△DEF．
（3）结论运用：在图2中，若AB=AC=10，BC=12，当△ABC的面积为△DEF面积的4倍时，直接写出线段EF的长．

7．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）过点D作DE⊥AC，求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AB=8，∠ABC=30°，求四边形DEAB的面积．

6．一次函数y=ax+2（a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点，记OM=d．
（1）点M是线段AB（不与A，B重合）上的动点：
①当a=-2，k=$\frac{1}{2}$时，求点M的坐标；
②当a=-3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式，并求k取得最大值时，点M的坐标；
（2）根据第（1）小题的研究规律，当直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$有唯一公共点M，且d=$\frac{5}{4}$时，求a的值；
（3）将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移$\sqrt{2}$个单位得到Rt△A′0′B′，如图②，点M是Rt△A′0′B′斜边上一动点，若a=-2时，则k的最大值与最小值之差为1．

5．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（-2，1），连结OE，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，0），C（5，0）．
（1）请求出OE的长度；
（2）在△ABC的边上找一点F，使得∠EOF=90°，求出F点的坐标；
（3）已知P是直线EO上的一个动点，以P为圆心，OE长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC三边所在直线相切，求P点的坐标．（改编）

4．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B、A、D在同一条直线上，连接BE、CD，F、P分别为BE、CD的中点，连接AF、AP、PF．
（1）求证：BE=CD；
（2）求证：△APF是等腰三角形．

3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点E是BA延长线上一点，点F是线段AD上一点，FE=FC．下列结论：
①∠AEF+∠DCF=30°；②△EFC是等边三角形；③AC=AE+AF；④S_△ABC=S_{四边形AECF}．
请你把正确结论的番号都填上①②③④ （少填一个扣1分，填错一个该题得0分）

2．如图，△ABC是等边三角形，边长为6，D是AC边上一点，连接BD，⊙O为△ABD的外接圆，过点A作AE∥BC交⊙O于点E，连接DE、BE．
（1）求证：△BDE是等边三角形；
（2）求△ADE周长的最小值；
（3）当AD=2时，设⊙O与BC边的交点为F，过F作⊙O的切线交AC于G，求CG的长．

1．问题：如图1，正△ABC中，点D在边BC上（不与点B、C重合），求证：BD+DC＞AD．
思路：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED．则有△ACD≌△ABE，DC=EB．
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE．
在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD．
拓展：①如图3，Rt△ABC中，点D在底边BC上（不与点B、C重合）．
求证：BD+DC＞$\sqrt{2}$AD．
②将①中的点D移到△ABC外或内时，BD、DC和AD之间的数量关系成为BD+DC≥$\sqrt{2}$AD，则等式成立的条件是把△ABD旋转，使AB与AC重合，然后绕AC旋转．
应用：如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D是△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180°，则BD、DC与AD之间的数量关系是BD+DC＜2AD．