12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，-4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

11．如图，二次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}\sqrt{3}x+\sqrt{3}$的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求 A，B，C三点的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC，求出四边形AEBC的面积；
（3）试探索：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由？

10．对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是正方形的“等距圆”
如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=2$\sqrt{2}$时，在P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P₂，P₄；
（2）当P点坐标为（-3，6），则当⊙P的半径r=5时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”．试判断此时⊙P与直线AC的位置关系？并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上且点H在点E的上方．
①将正方形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，线段GF上没有一个点能称为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是0＜r＜2$\sqrt{10}$-2或r＞12；
②若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．

9．矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．

（1）当A′与B重合时（如图1），EF=5；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长？
（2）观察图3和图4，
 ①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形；
 ②设BA′=x，当x的取值范围是3≤x≤5时，四边形AEA′F是菱形．

8．如图，抛物线y=ax²+x+c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC，求tan∠CAO的值；
（3）动点E以每秒1个单位长度的速度沿A→B方向匀速运动，过点E作EF∥y轴，设点E运动时间为t（0≤t≤6）秒，运动过程中直线EF在△ABC中所扫过的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）若点M，N在线段BC上，点Q，P在第一象限的抛物线上，且四边形MNQP是正方形，求点M的坐标．

7．我们在探索“圆”时，学习了圆周角与圆心角的关系定理的推论“直径所对的圆周角是直角”．请利用此推论，完成下面的尺规作图．如图，点P是⊙O外的一点，用圆规和直尺过点P作出⊙O的切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

6．如图，经过原点的抛物线y=-x²+mx（m＞2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，$\frac{m}{2}$）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连接CB，CP，CA，要使得CA⊥CP，则m的值为3．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax-2（a＞0）与y轴交于点A，点B的坐标为（$\frac{1}{a}$，-2），过点B作y轴的平行线，交抛物线于点C，连结AB、AC．
（1）当点B与点C关于x轴对称时，求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当点B在抛物线对称轴上时，求点C的坐标；
（3）在y轴上取一点D，使AD=AB，且点D、B在AC的两侧，连结CD，求AC，将四边形ABCD的面积分为1：2两部分时a的值．

4．如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5-$\frac{3}{5}$x（0≤x≤5），则结论：①AF=2；②BF=4；③OA=5；④OB=3，正确结论的序号是（　　）

A．

①②③

B．

①③

C．

①②④

D．

③④

3．如图，将抛物线M₁：y=ax²+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M₂，直线y=x与M₁的一个交点记为A，与M₂的一个交点记为B，点A的横坐标是-3．
（1）求a的值及M₂的表达式；
（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF．
①当点C的横坐标为2时，直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；
②在点C的运动过程中，若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）．