3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，连接DE、DB，若∠CBD=∠A．
（1）直接写出图中所有相似三角形；
（2）若AD：AO=8：5，BC=12，求⊙O的直径．

2．已知，在△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，△AEF与正方形ABCD有公共顶点A，连接CF，G为CF的中点，连接EG、DG．
（1）如图1，当点E在AC上，点F在AD上时，请猜想线段EG、DG的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若将△AEF绕点A按顺时针方向旋转45°，使点E在AD上，其他条件不变，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

1．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E从点C出发，沿CB方向匀速向点B运动，速度为每秒4cm，同时点P从点A出发，沿AC方向匀速向向点C运动，速度为每秒5cm，过点E平行于BD的直线EF，交CD于F，交AC于Q，当点P运动到线段EF上时，点P、点E都停止运动．设运动时间为t秒，△PEF的面积为y（cm²）
（1）当t=$\frac{4}{3}$时，点P恰好运动到线段EF上；（请直接写出答案）
（2）如图2，过点P作PH⊥BC于H，当t为何值时，△PEH∽△EFC？
（3）求y关于t的函数关系式；
（4）如图3，取PF的中点N，连接EN，交AC于M，请问随着时间t的改变，点M的位置会发生改变吗？如果会改变请说明点M的变化情况；如果不会改变，请求出点M的具体位置．

20．已知：△ABC是正三角形，且边长为1，点E是直线AB上的一个动点，过点E作BC的平行线交直线AC于点F，将线段EC绕点E旋转，使点C落在直线BC上的点D处；
（1）当点E在△ABC的边AB上时，
①求证：AE=BD；
②设梯形EDCF的面积为S，当S达到最大值时，求∠ECB的正切值．
（2）当点E不在边AB上时，由A、D、E、C四点围成的四边面积能否为$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$？若能，求出AE长；若不能请说明理由．

19．抛物线y=ax²+3交x轴于A（-4，0）、B两点，交y轴于C．将一把宽度为1.2的直尺如图放置在直角坐标系中，使直尺边A′D′∥BC，直尺边A′D′交x轴于E，交AC于F，交抛物线于G，直尺另一边B′C′交x轴于D．当点D与点A重合时，把直尺沿x轴向右平移，当点E与点B重合时，停止平移，在平移过程中，△FDE的面积为S．
（1）请你求出S的最大值及抛物线解析式；
（2）在直尺平移过程中，直尺边B′C′上是否存在一点P，使点P、D、E、F构成的四边形这菱形，若存在，请你求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过G作GH⊥x轴于H
①在直尺平移过程中，请你求出GH+HO的最大值；
②点Q、R分别是HC、HB的中点，请你直接写出在直尺平移过程中，线段QR扫过的图形的面积和周长．

18．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标是（8，0），tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，△ABC的面积为8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线EF∥x轴，从过C点开始，以每秒1个单位长度的速度向x轴方向平移，并且分别交y轴、线段CB于点E，F．动点P同时从B点出发在线段BO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，连结FP，设运动时间为t秒．问：当t取何值时，$\frac{1}{EF}+\frac{1}{OP}$的值最小，并求出最小值；
（3）在满足（2）的条件下，存在2个t值，使得点P，B，F构成Rt△；若存在，请直接写出t的值．

17．如图：在平面直角坐标系中，平行四边形OABC，O是坐标原点，OC在x轴的正半轴上，OC=6，B（9，4）
（1）求tan∠AOC；
（2）D从C点出发，延CO方向以每秒0.75单位的速度运动，点E从O点出发以每秒2个单位的速度，沿线段OA，AB运动，当t为多少时，直线DE平分平行四边形OABC的面积？
（3）在（2）中的直线上是否存在一点P使△BEP与△BEC相似？若存在求点P的坐标，若不存在请说明理由．

16．已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E，连接DE．

（1）求∠AED的度数．
（2）①求证：EB-EC=$\sqrt{2}$DE；
②若点A为直线AB上的动点，当点A运动到如图2位置时，①中的结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，直接写出类似的结论（不必证明）．
（3）若点A运动到BD的延长线时，如图3，当DC=$\sqrt{5}$，DE=2$\sqrt{2}$时（0＜BE＜2），求AE的长．

15．如图，
（1）△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A₁B₁D₁E₁（D₁、E₁在AB上，A₁、B₁分别在AC、BC上），再在△A₁B₁C内用同样的方法作第2个内接正方形A₂B₂D₂E₂，…如此下去，操作n次，则第一个内接正方形的边长是1，第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的边长是$\frac{1}{{3}^{（n-1）}}$．
（2）在△ABC中，BC=12，高AD=8，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，（P在AB上，Q在AC上，M、N在BC上），
①求当PQ为何值时，矩形PQMN面积最大．
②若再在△APQ中作一个内接矩形P₂Q₂M₂N₂，如此下去，操作n次，求PnQn的长．（直接写出结果）
（3）解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条．

14．平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（0，5）．B、C分别是x轴、y轴上的两个动点，C从A出发，沿y轴负半轴方向以1个单位/秒的速度向点O运动，点B从O出发，沿x轴正半轴方向以1个单位/秒的速度运动．设运动时间为t秒，点D是线段OB上一点，且BD=OC．点E是第一象限内一点，且AE${\;}_{=}^{∥}$DB．
（1）当t=4秒时，求过E、D、B三点的抛物线解析式．
（2）当0＜t＜5时，（如图甲），∠ECB的大小是否随着C、B的变化而变化？如果不变，求出它的大小．
（3）求证：∠APC=45°．
（4）当t＞5时，（如图乙）∠APC的大小还是45°吗？请说明理由．