科目： 来源： 题型：解答题

11．如图，已知等边△ABC的边长为a，点P是BC边上一动点，以AP为边作等边△APQ，边PQ交AC于点O，连接CQ，
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）若点D是AQ的中点，当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长为$\frac{1}{2}$a（直接写出结果）；
（3）当BP=$\frac{1}{3}$a时，求$\frac{AP}{PO}$的值．

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10．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=8cm，BC=6cm，若动点E以2cm/s的速度从A向B运动，点F以1cm/s的速度从B向C运动，设运动时间为t（s），连接EF，当△BEF是直角三角形时，求t（s）的值．

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9．操作发现
如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，已知E，F分别是边BA和边AD上的动点（点E不与点B重合，点F不与点D重合），BE=AF，连接CE，CF，EF，由此可以发现△CEF是等边三角形．

类比猜想
在上述条件不变的情况下，若动点E，F分别运动至边BA和边AD的延长线上，如图2所示，试猜想△CEF是否仍然为等边三角形，并说明理由．
深入研究
（1）在图1的基础上，过点E作CF的平行线，并截取EG=CF，连接CG，BG，如图3所示，试探究AF，BG与AB之间的数量关系，并证明你探究的结论；
（2）在图2的基础上，进行（1）中的操作，如图4所示，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出新的结论．

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8．操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如图1设计：
发现：（1）小明在方案一中连接AC，AB，BC后发现，AB恰好为该圆直径，你认为小明的这个发现是否正确？请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率约为38.2%，你知道怎么算的吗？请你写出他的计算过程；
探究：（3）对于方案二纸片的利用率，小明认为关键的是要求出此直角三角形的两直角边的长，你是这样想的吗？请你求出方案二纸片的利用率．

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7．已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠B=60°，点E从点C出发，沿折线CA-AD运动，速度为每秒1个单位长度，过E作EF∥CD，交BC于F，同时过E作EG⊥AC交直线BC于G，设运动时间为t，△EFC与△ABC重叠部分的面积为S，当点E运动到点D时停止运动．
（1）当点G在线段BC上，t=2秒时，BG=FC；
（2）请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）如图2，将△ABC绕点C旋转至△A′B′C，线段A′C，B′C分别交线段AD，AB于M，N，请问△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

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6．在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AC方向运动，速度为2cm/s；同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s；连接PQ，若设运动时间为t（s） （0＜t≤3）．
（1）若设△APQ的面积为y（cm²），求y与t函数关系式．
（2）是否存在某一时刻t使△APQ的面积与四边形BCPQ的面积比是7：8？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）连接DP得到△DPQ，那么是否存在某一时刻t，使点D在PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

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5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，O是BC中点，将△ABO绕点O旋转180°至△ECO．
（1）猜想并证明线段AC与BE有什么关系；
（2）给梯形ABCD添加一个条件，使四边形ABCE是矩形，证明你的结论．

科目： 来源： 题型：填空题

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3．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，$sinC=\frac{4}{5}$，若点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值为10．

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2．如图A、B、C是△ABC三个顶点
（1）写出A、B、C三个顶点的坐标；
（2）将A、B、C三点横纵坐标都乘以-1，得到的△A′B′C′与△ABC相比有什么变化？