8．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，求∠A的正切值．
小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．

（1）图2中与∠A相等的角为∠D，∠A的正切值为$\frac{1}{2}$；
（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）
解决问题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG=$2\sqrt{10}$，KG=$2\sqrt{5}$，延长HK，求∠α+∠β的度数．

7．已知矩形ABCD的一条边AD=8cm，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
（1）如图1，若点P恰好是CD边的中点，
①判断△ADP与△APO是否相似，并说明理由；
②求边AB的长；
（2）如图2，若△OCP与△PDA的面积比为1：4，动点G从点D出发以每秒1cm的速度沿DP向终点P运动，同时动点H从点P出发以每秒2cm的速度沿PA向终点A运动，运动的时间为t（0＜t＜5），
①求边AB的长；
②问是否存在某一时刻t，使四边形ADGH的面积S有最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由．

6．已知二次函数y=（t-4）x²-（2t-5）x+4在x=0与x=5的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，一次函数y=kx+b经过B，C两点，求一次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，过动点D（0，m）作直线l∥x轴，其中m＞-2．将二次函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点，请直接写出m的取值范围．

5．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A₁B₁C₁∽△ABC，则称△A₁B₁C₁与△ABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A₂B₂C₂∽△ABC，则称△A₂B₂C₂与△ABC互为异相似．

（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE与△ABC互为同相似，△HXG与△HGF互为逆相似，△OPQ与△OMN互为同相似；

（2）在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条．

4．（1）操作，如图1，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图1画出一对以点O为对称中心的全等三角形．
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
（2）探究一：如图2，在是变形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论：
（3）探究二：如图3，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB，若AB=a，CF=b，求DF的长度（用含a、b的式子表示）．

3．如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD=4$\sqrt{3}$．
（1）求证：∠C=60°；
（2）连接AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB=$\sqrt{2}$AE，求四边形ABCD的面积．

2．已知，如图（1），△ABC、△AED均为等腰Rt△（其顶点A、B、E重合），且∠BAC=∠AED=90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连OF．
（1）如图（1），此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图（2），此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）将△AED绕点A继续旋转如图（3），此时$\frac{OF}{EC}$的值又是多少？试证明你的结论？
（3）设在旋转过程中，边AD、AE交线段BC于M、N，如图（4），将△ABM沿直线AD折叠，设B的对应点为B₁，连NB₁，请完成图（4），并判断△MB₁N的形状直角三角形（不需证明）．

1．已知△ABC中，D、E分别在BC、AB上，且∠ACB=∠DEB=90°，当M为AD的中点时，连CM、EM．

（1）①如图1，若∠ABC=45°，则MC=ME，∠CME=90°；
     ②如图2，若∠ABC=30°，则MC与ME的数量关系为MC=ME，∠CME=120°；
（2）将图2中的△DEB绕点B逆时针旋转30°得到图3，请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小并给予证明；
（3）如图4，在△ABC和△BDE中，∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE=α，点M仍为AD的中点，现将△BDE绕点B逆时针旋转β（0°＜β＜90°），请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小，并给予证明．

11．如果a，b都是有理数，且满足a+2b+$\sqrt{2}$=4+（a-b）$\sqrt{2}$，求a，b的值．

10．解方程组：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=7}\\{\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14}\end{array}\right.$；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x-1}{5}+\frac{3y-2}{4}=2}\\{\frac{3x+1}{3}-\frac{3y+2}{4}=0}\end{array}\right.$．