11．（1）如图1，AB为⊙O的弦，D为AB上一点，且OD⊥OB．直线l与⊙O相切于点A，且直线l与OD的延长线交于点C．
①求证：AC=CD；
②若AC=2，OA=$\sqrt{5}$，求线段OD的长．
（2）如图2，AB为⊙O的弦，D为AB上一点，且OD⊥OB．直线l⊥OA，且直线l与OA的延长线交于点A′，与BA的延长线交于点E，与OD的延长线相交于点C′．
①在图2中找出与C′D相等的线段，并说明理由；
②若A′C′=9cm，OA′=12cm，⊙O的半径为6cm，求线段OD的长．

10．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．
（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），tan∠CBO=$\frac{1}{3}$，E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE．
（1）求AC和OB的长；
（2）设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标．

8．如图1，△ABE、△BCD均为直角三角形，且点E在线段BC上，∠ABC=∠BCD=90°，AB=nBE，EC=kCD，AE⊥BD于H．
（1）当n=2，k=1时，求证：AE=BD；
（2）在（1）的条件下，求tan∠BCH的值；
（3）如图2，当AE平分BD时，请直接写出k=0（用含n的代数式表示）．

7．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按下图①摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，EF=12cm．如图②所示，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．此时DE与AC相交于点Q，连结PQ．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF和点P同时停止移动．设移动时间为t（s）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形？
（3）连结PE，当四边形APEC的面积最小时，求PE的长．

6．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，点M为射线AC上一点，点N为射线CB上一点，且 DM⊥DN．

（1）如图1，①求证：$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BC}{AC}$；
②若BC=6，AC=8，CM=5，直接写出CN的长．
（2）如图2，过M作MG⊥AB于G，点H在AB的延长线上，且BH=DG，试判断NH与AB的位置关系，并说明理由．

5．如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点．
（1）求证：MN=PQ；
（2）如图2，当BD=$\frac{1}{3}BC$时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由；
（3）若BC=6，请你直接写出点M、点N、点P、点Q围成的图形共有哪些形状及对应的BD的取值范围．

4．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在边AB延长线上，点G在边AD上，FG分别交ED，BC于点M，N．
（1）如图1，AE=BF，连接CF．
①求证：△DGM∽△CNF；
②若BE=2AE=2GD，求$\frac{GM}{NF}$的值．
（2）如图2，若$\frac{EF}{CD}=\frac{GD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求∠EMF的度数．

3．如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交手点D．
（1）试求出点D的坐标；
（2）设直线AD交x轴于点H，y轴上有一动点P，点P从H点出发向B点运动，设线段PH长为t，过P点作MN∥x轴，交直线BC于M，交直线AD于N，若线段MN的长为y，试用含有t的代数式表示y；
（3）当y=$\frac{14}{3}$时，在y轴上是否存在一点F，使得以点A、P、F为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请求出此时F点的坐标；若不存在请说明理由．
（4）在坐标轴上是否存在点X，使直线XA与坐标轴夹角所得的正切值是2？若存在，请直接写出X的坐标．若不存在，请将题目条件中的2改为$\frac{1}{2}$，并直接写出X的坐标．