11．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于C点，抛物线上有一点M，横坐标为4．
（1）求△ACM的面积；
（2）在直线OM下方抛物线上有一点N，使∠MON=45°，求N的横坐标；
（3）在（2）条件下，将∠MON绕O逆时针旋转，旋转过程中，射线OM，射线ON交直线BC分别为E，F，将△OEF沿OE翻折得到△OEG（G为F的对应点），连接CG，若CE：CG=3：4，求线段CE的长．

10．如图，直角坐标系中，已知点A（2，3），线段AB垂直于Y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90度，点B落在点C处，直线BC与x轴交于点D．
（1）点C的坐标是（2，1），点D的坐标是（3，0）．
（2）试求出经过A、B、D三点的抛物线的表达式，以及顶点E的坐标．
（3）点F在（2）中抛物线的对称轴上，使以点A E F为顶点的三角形与三角形ACD相似．请求出此时F点的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经y=ax²+bx-3过三点A、B、C，已知A（-3、0），C（1、0）．
（1）求此抛物线的解析式及直线AB的解析式．
（2）点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好搭在抛物线对称轴上时，求此时对应的P点的坐标．（结果保留根号）

8．如图1，抛物线C：y=ax²-2x+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）点D是抛物线C₁的对称轴上任意一点，当△BCD的面积等于△ABC的面积的$\frac{1}{2}$时，求点D的坐标；
（3）将抛物线C₁在A，B间的部分沿x轴上翻折，翻折后的图形与原来抛物线C₁的剩余部分组成一个新图形C₂（如图2所示），若过点F（-$\frac{3}{2}$，0）的直线l：y=kx+b（k，b为常数），与图形C₂只有两个公共点，求k的取值范围．

7．如图，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角形ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，-1），另一顶点B坐标为（-2，0），已知二次函数y=$\frac{3}{2}$x²+bx+c的图象经过B，C两点，过点C作CD⊥y轴，垂足为点D
（1）求证：AO=CD；
（2）求经过点B和点C的二次函数的解析式；
（3）现将一把直尺放置砸直角坐标系中，使直尺的A′D′∥y轴且经过点B（如图），直尺沿x轴正方形平移，当A′D′与y轴重合时运动停止，若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（4）在（3）的条件下，设点P为直尺的A′D′上一点，Q为BC的中点，BP⊥PC，若把直尺平移到（2）题中的抛物线的对称轴处，求点P的坐标和∠CPA的度数．

6．如图，抛物线C₁：y=-（x+m）²+m²（m＞0）的顶点为A，抛物线C₂：y=-（x-n）²+n²（n＞m）的顶点为B，抛物线C₂的对称轴与抛物线C₁相交于点C，抛物线C₁的对称轴与抛物线C₂相交于点D．
（1）请你用含有m、n的代数式表示线段AD、BC的长度；
（2）若抛物线C₁是y=-（x+1）²+1，OM=3，求抛物线C₂的解析式和$\frac{AM}{BM}$的值；
（3）若在抛物线C₁上存在点N，使得△AND∽△BMC，求m、n所满足的关系．

5．如图，已知抛物线的顶点在第一象限，顶点到x轴的距离为3，抛物线与x轴交于原点O（0，0）及点A，且OA=4．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转30°到OA′，作A′E⊥y轴于点E，连结AE，OA′交于点F．
①试判断点A′是否在该抛物线上，说明理由．
②求△A′EF与△OAF的面积之比．

4．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），直线y=kx+1与抛物线相交于A、C两点
（1）求抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c和直线AC的解析式；
（2）以AC为直径的圆与y轴交于两点M、N，求M、N两点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，△ACP的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

3．如图，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值；
（2）当k=1时，求点M，N的坐标；
（3）分别过点M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M₁，N₁，探究当k=1时，△NFN₁与△M₁FN₁，各是什么特殊三角形？请说明理由，并猜想：这个结论对任意k的值都成立么？（直接写出结论即可）．

2．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点D是抛物线的顶点．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）连接BC，BD，CD，若点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当S_△PBC=S_△BCD时，求m的值（点P不与点D重合）；
（3）连接AC，将△AOC沿x轴正方向平移，设移动距离为a，当点A和点B重合时，停止运动，设运动过程中△AOC与△OBC重叠部分的面积为S，请直接写出S与a之间的函数关系式，并写出相应自变量a的取值范围．