Question

10．有两个用不同材料制成的实心正方体A、B，已知A 重8N，B 重4N；A 的边长为4cm，B 的边长为8cm．如图25 所示，轻质弹簧将A、B 表面的中央连接固定．水平放置的圆柱形容器内盛有一定量的某种液体，稳定后物体A 与容器底部接触（不密合），B 的上表面与液面平行且与液面相距2cm，此时物体A 对容器底部的压强为500Pa．已知圆柱形容器的底面积为100cm²；弹簧不受力时长为10cm，在弹性限度内其所受力F的大小与弹簧变形量的关系如图所示．（弹簧的体积忽略不计，g取10N/kg）求：
（1）物体A 的密度；
（2）物体A、B 所受的浮力之和；
（3）容器内所盛液体的质量．

Answer 1

分析 （1）已知物体的重力，根据G=mg变形公式求质量，已知A的边长可求体积，根据密度公式可求密度大小；
（2）因不知液体的密度，故不能直接根据阿基米原理求浮力，
物体A 对容器底部的压强为500Pa，根据F=pS可求A对容器底的压力，根据力的作用相互性，可知底部对A的作用力，
将AB视为一个整体，分析其受力，根据力的平衡列方程，可求出物体A、B 所受的浮力之和；
（3）根据阿基米德原理F_浮=ρ_液gV_排，在液体密度相同时，受到浮力与排开液体的体积成正比，在（2）的基础上可求B受到的浮力；
以B为研究对象分析受力，根据B受到的浮力与B的重力大小可判断B受到的弹簧施加力的方向，根据力的平衡列方程，求出弹簧的弹力大小，由图象可知弹簧的形变量，求出弹簧现在的长度，从而可求液体的深度；根据图示可求容器液体的实际体积；
以AB整体为研究，根据F_浮=ρ_液gV可排求出液体的密度，
根据m_液=ρ_液V_液可求出液体的质量．

解答 解：（1）已知A重G=8N．A的质量：
m=$\frac{G}{g}=\frac{8N}{10N/kg}$=0.8kg=800g；A 的边长为L=4cm，A的体积V=L³=（4cm）³=64cm³，
物体A 的密度：
ρ=$\frac{m}{V}=\frac{800g}{64c{m}^{3}}$=12.5g/cm³；
（2）弹簧的体积忽略不计，g取10N/kg，可将AB视为一个整体，
两正方体重力和：
G_AB=8N+4N=12N-------①
整体受竖直向下的重力G_AB、浮力的作用F_浮和底部对其的支持力F_支的作用下处于静止状态，
故G_AB=F_浮+F_支，所以，F_浮BA=G_AB-F_支=-------②
此时物体A 对容器底部的压强为p=500Pa，A 对容器底部压力为：
F_A=pSA=500Pa×（4×10^-2m）²=0.8N，
根据力的作用相互性，容器底部对A的支持力：
F_支=0.8N--------③，
由①②③得：物体A、B 所受的浮力之和；
故F_浮BA=11.2N--------④；
（3）B 的上表面与液面平行且与液面相距2cm，故B排开液体的体积V_排B=（8cm-2cm）×（8cm）²，
A排开液体的体积V_排A=（4cm）³，
两物体排开液体的体积之比：
$\frac{{V}_{排B}}{{V}_{排A}}=\frac{6cm×（8cm）^{2}}{（4cm）^{3}}$=$\frac{6}{1}$，
根据阿基米德原理F_浮=ρ_液gV_排，在液体密度相同时，受到浮力与排开液体的体积成正比，
即$\frac{{F}_{浮B}}{{F}_{浮A}}$=$\frac{6}{1}$--------⑤，
由④⑤得：B受到浮力：
F_浮B=$\frac{6}{1+6}$×11.2N=9.6N，
以B为研究对象，受竖直向下的重力G_B=4N，竖直向上的浮力F_浮B=9.6N、及弹簧施加弹力F_弹的作用，处于静止状态，因浮力大于重力作用，弹簧对B施加的弹力方向竖直向下，（根据力的作用是相互的，B对弹簧的拉力方向竖直向下，即弹簧在水中伸长了），故G_B=F_浮B+F_弹，
故F_弹=F_浮B-G_B=9.6N-4N=5.6N，
由图象知，此时弹簧伸长为2.8cm；此时弹簧的长为：
h=10cm+2.8cm=12.8cm，
故容器内液体的深度：
h′=6cm+12.8cm+4cm=22.8cm，
容器内液体的体积：
V_液=h′×S_圆-V_排A-V_排B=22.8cm×100cm²-64cm³-384cm³=1832cm³，
F_浮BA=ρ_液g（V_排B+V_排A），
液体的密度：
ρ_液=$\frac{{F}_{浮BA}}{g（{V}_{排A}+{V}_{排B}）}$=$\frac{11.2N}{10N/kg×（64+384）×1{0}^{-6}{m}^{3}}$=2.5×10³kg/m³，
液体的质量：
m_液=ρ_液V_液=2.5×10³kg/m³×1832×10^-6m³=4.58kg．
答：（1）物体A 的密度为12.5g/cm³；
（2）物体A、B 所受的浮力之和为11.2N；
（3）容器内所盛液体的质量为4.58kg．

点评 本题考查密度、重力公式、阿基米德原理，力的平衡、压强、压力公式、力的作用相互性等知识的综合应用，为压轴题．关键是正确确定研究对象，运用整体思想进行受力分析，特别是弹力的方向的判断弹簧的状态，是解题的关键．