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精英家教网如图所示,A、B两地相距4km,MN是与AB连线平行的一条小河的河岸,AB到河岸的垂直距离为3km,小明要从A处走到河岸取水,然后送到B处,他先沿着垂直于河岸的方向到D点取水,然后再沿着直线DB到B处,若小明的速度大小恒定为5km/h,不考虑取水停留的时间.
(1)求小明完成这次取水和送水任务所需的总时间;
(2)为了找到一条最短路线(即从A到河岸和从河岸到B的总路程最短),可以将MN看成一个平面镜,从A点作出一条光线经MN反射后恰能通过B点,请你作图说明入射点O即为最短的取水点.其他任何一点(如E点或F点)都比该点取水路线要长(保留必要的辅助线)
分析:(1)已知AB间的距离是4km,AB到河岸的距离(AD)是3km,可以计算出DB间的距离,此时便可知道小军要走的路程了,又知速度,根据v=
s
t
变形可计算出所需时间;
(2)利用平面镜成像的特点:像与物关于平面镜对称,作出发光点A的像点A′,根据反射光线反向延长通过像点,可以由像点和B点确定反射光线所在的直线,两点之间,直线最短.
解答:解:(1)已知sAB=4km,sAD=3km,
根据勾股定理可知,sDB=5km,
故小军通过的路程s=sAD+sDB=3km+5km=8km,
∵v=
s
t

∴所需的时间:
t=
s
v
=
8km
5km/h
=1.6h;
(2)作出发光点A关于平面镜的对称点,即为像点G,连接G、B点交平面镜于点O,沿OB画出反射光线,连接AO画出入射光线,如图所示,图中O就是入射点;
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根据光的反射知识可知,s=AO+OB=GO+OB,s′=AF+FB=GF+FB,根据三角形三边的关系可知,s<s′,故O点是最短路线的取水点.
答:(1)所需的时间1.6h.
点评:本题利用平面镜成像的特点,并结合数学知识,解决实际问题(取水路线最短),综合性较强,是中考考查的热点问题.
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