【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心判断依据：①因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，且分解必须彻底，每个因式不能再继续分解；②要区分因式分解和整式乘法是互逆过程，同时熟练掌握平方差、完全平方等因式分解常用公式。解题时逐一排查每个选项是否符合上述要求即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$x^3 - x = x(x^2 - 1)$，其中因式$x^2 - 1$还可以用平方差公式继续分解为$(x+1)(x-1)$，正确结果应为$x(x+1)(x-1)$，该选项分解不彻底，错误。
B选项：$m^2 + 4m + 4$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，此处$a=m$，$b=2$，所以$m^2 + 4m + 4=(m+2)^2$，分解正确。
C选项：$(a + 4)(a - 4) = a^2 - 16$是整式乘法运算，是把乘积形式转化为多项式，和因式分解的过程互逆，不属于因式分解，错误。
D选项：$(x+y)(x-y)$展开后为$x^2 - y^2$，和$x^2 + y^2$不相等，且$x^2 + y^2$在有理数范围内无法分解因式，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解概念的理解以及常用乘法公式的应用，解题时需注意三点：一是因式分解的结果必须是整式乘积的形式，二是分解要彻底，三是要准确区分因式分解和整式乘法的差异。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，针对给定的多项式$4x^2+1$，分两类情况讨论：①将$4x^2$和$1$作为完全平方中的两个平方项，计算需要补充的中间乘积项；②将$4x^2$作为完全平方中的中间乘积项，$1$作为其中一个平方项，计算需要补充的高次平方项；也可将选项逐一代入验证是否能构成完全平方，排除可行选项即可得到答案。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一分析选项：
1. 验证选项A：添加$4x$后，多项式为$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，是整式的完全平方，不符合题意；
2. 验证选项B：添加$-4x$后，多项式为$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，是整式的完全平方，不符合题意；
3. 验证选项C：添加$4x^4$后，多项式为$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，是整式的完全平方，不符合题意；
4. 验证选项D：添加$-4x^4$后，多项式为$-4x^4+4x^2+1$，无法变形为某个整式的完全平方形式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式，整式的运算
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论完全平方式中各部分的对应关系，避免遗漏高次项的情况，同时要关注完全平方式各项的符号特点。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，我们可以利用“两个图形阴影部分面积相等”的条件，分别计算两个图形阴影部分的面积，再令二者相等即可推导得出对应的公式。第一步先计算图甲的阴影面积：图甲是大正方形挖去小正方形，面积等于大正方形面积减小正方形面积；第二步计算图乙拼成的矩形的面积，先确定矩形的长和宽，再用长乘宽计算面积；最后将两个面积表达式联立，对应选项判断即可。
【解析】
解：先计算图甲阴影部分的面积：
大正方形边长为a，面积为$a^2$，挖去的小正方形边长为b，面积为$b^2$，因此$S_{甲阴影}=a^2 - b^2$。
再计算图乙阴影部分的面积：
观察图乙可知，拼成的矩形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此$S_{乙阴影}=(a+b)(a-b)$。
因为两个图形阴影部分面积相等，所以$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式
2. 面积法验证公式
【点评】
本题通过几何图形面积的不同表示方式推导代数公式，将数与形结合，能帮助我们直观理解平方差公式的含义，是公式推导类的典型基础题。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察式子的结构，两项都是以2为底的幂，且指数相差4，符合提公因式法因式分解的特征。我们可以先提取公因式$2^n$对式子进行化简，再结合正整数n的取值范围，分析化简后式子的因数，最后可通过代入最小正整数验证的方法排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
对代数式$2^{n+4} - 2^n$因式分解并化简：
1. 提取公因式$2^n$：
$2^{n+4} - 2^n = 2^n × 2^4 - 2^n = 2^n(2^4 - 1)$
2. 计算括号内数值：$2^4=16$，因此$2^4-1=15$，代入得：
原式$=15 × 2^n$
由于n是正整数，$2^n$是2的正整数倍，因此$15×2^n=30×2^{n-1}$，即原式是30的正整数倍。
代入$n=1$验证其余选项：此时原式$=2^5-2^1=30$，30不能被12、16、60整除，排除A、B、D选项。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的运算；整除的概念
【点评】
本题解题关键是熟练运用提公因式法对含幂的代数式化简，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先观察代数式的形式，是两个平方项作差，符合平方差公式的结构，因此第一步考虑用平方差公式对代数式进行因式分解。再结合三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别判断分解后两个因式的正负性，最后根据“同号得正，异号得负”的乘法符号规则，即可确定原代数式的符号。
【解析】
首先利用平方差公式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
∵a、b、c是三角形的三边
根据三角形三边关系：
两边之和大于第三边，可得$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
同时$b + c ＞ a$，移项得$a - b - c ＜ 0$。
∴正数与负数相乘，乘积为负，即$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$
因此代数式的值小于零。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解、三角形三边关系、有理数乘法符号法则
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的综合基础题，解题核心是先通过因式分解将原式转化为两个整式乘积的形式，再结合三角形三边关系判断因式的正负，最终确定代数式的取值符号，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决这类代数式求值问题，无需单独计算a、b的具体值，先观察待求多项式的结构，先提取公因式，再利用完全平方公式将多项式因式分解，转化为含有已知条件$a-b$、$ab$的形式，最后整体代入已知值计算即可。
【解析】
先对目标多项式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b - 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 - 2ab + b^2)\\&=ab(a - b)^2\end{aligned}$
将$a - b = 3$，$ab = 1$代入化简后的式子，得：
原式$=1×3^2=9$
【答案】
A
【知识点】
因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，运用整体代入思想可简化计算，避免求解未知量的繁琐过程，是基础的代数应用题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构，完全平方式分为和的平方、差的平方两种形式，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。先把给定多项式的首项、末项转化为平方形式，再对照公式匹配中间项，注意不要漏任意一种完全平方的情况，避免出现漏解的问题。
【解析】
解：
∵ 完全平方式的结构为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，
已知$4x^2 - mx +9$是完全平方式，其中首项$4x^2=(2x)^2$，末项$9=3^2$，
∴ 该完全平方式可写为$(2x\pm3)^2$，
将$(2x\pm3)^2$展开可得：
$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$，$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$，
把展开式与$4x^2 - mx +9$对比中间项系数，可得：
$-m=12$或$-m=-12$，
解得$m=-12$或$m=12$，即$m=\pm12$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式 2.完全平方式 3.多项式系数对应
【点评】
本题重点考查完全平方式的应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两种结构形式，易错点是容易忽略中间项的正负两种可能，导致漏解。
【难度系数】
0.8