Question

用数学归纳法证明：在杨辉三角中，第m条斜线（从左上到右下）上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数，即

C +C+C+…+C =C（r为第m条斜线上第一个数所在的行数）.

Answer 1

证明：对N^*中某确定的r，对n=1，2，…作数学归纳法证明.

（1）当n=1时，左边=C+C=1+（r+1）=r+2=C=右边，∴等式成立.

（2）假设当n=k时，等式成立，即

C+C+C+…+C=C，

则当n=k+1时，左边=C+C+C+…+C+C=C+C=C

=C=右边.

∴当n=k+1时等式也成立.

由（1）（2）知对于n∈N^*等式均成立.

同理对r取N^*中其他确定值时也可证明.

综上，C+C+C+…+C=C.

点评：①用数学归纳法证明对任意的正整数n都成立必须针对确定的r.②注意组合数性质C+C=C的使用（n≥m）.