Question

（2013•惠州模拟）已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证：

1

6

≤Tn＜

3

8

．

Answer 1

分析：（1）依题意，可由

S5=70 a72=a2a22

求得其首项与公差，继而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得S_n=2n²+4n，用裂项法可求得

1

Sn

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

），从而可求得T_n-

3

8

=-

1

4

（

1

n+1

+

1

n+2

），利用递增函数的定义再证明数列{T_n}是递增数列，即可证得结论．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+

n(n-1)

2

d．…（1分）
依题意，有

S5=70 a72=a2a22

即

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d).

…（3分）
解得a₁=6，d=4．…（5分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n+2（n∈N^*）．…（6分）
（2）证明：由（1）可得S_n=2n²+4n．…（7分）
∴

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

2n(n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

）．…（8分）
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn-1

+

1

Sn

=

1

4

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]…（9分）
=

1

4

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

8

-

1

4

（

1

n+1

+

1

n+2

）．…（10分）
∵T_n-

3

8

=-

1

4

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜0，
∴T_n＜

3

8

．…（11分）
∵T_n+1-T_n=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+3

）＞0，所以数列{T_n}是递增数列．…（12分）
∴T_n≥T₁=

1

6

．…（13分）
∴

1

6

≤T_n＜

3

8

．…（14分）

点评：本题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．