Question

（2013•德州二模）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足

f(x)

g(x)

=ax，且f'（x）g（x）＞f(x)g′(x)，

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若有穷数列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)的前n项和等于126，则n等于（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：首先由已知条件结合导数大于0判断出a^x为实数集上的增函数，由此得到a＞1，再由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+

1

a

=

5

2

求出a的值，然后利用等比数列的前n项和公式求解n的值．

解答：解：由[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，
而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以[

f(x)

g(x)

]′＞0，
即函数

f(x)

g(x)

=ax为实数集上的增函数，
则a＞1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+

1

a

=

5

2

，解得a=2．
则数列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)为数列{2ⁿ}，
此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
由前n项和等于126，得126=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，解得n=6．
故选C．

点评：本题考查了函数的单调性与导数间的关系，考查了导数的运算法则，训练了利用等比数列的前n项和公式求值，是中档题．