Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）定义正数数列，数列是等比数列；
（Ⅲ）令成立的最小n值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，
∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβsin2αcosβ=sinβ（3-cos2α）
=
∴
（Ⅱ）∵
∴
∴
∴数列是以2为首项，为公比的等比数列．
（Ⅲ）∵
∴
又
∴
∴满足．
分析：（Ⅰ）由sin（2α+β）=3sinβ，知sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβsin2αcosβ=sinβ（3-cos2α），=，由此能求出f（x）的表达式．
（Ⅱ）由，知，，故数列是等比数列．
（Ⅲ）由，知，由此入手能导出满足．
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．