Question

如图,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中y＞x＞0.

(1)将十字形的面积表示为θ的函数;

(2)θ为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?

Answer 1

(1)解:设S为十字形的面积,则

    S=2xy-x²=2sinθcosθ-cos²θ(＜θ＜).

(2)解法一:S=2sinθcosθ-cos²θ

    =sin2θ-cos2θ-

    =sin(2θ-φ)-,

   其中φ=arccos,

    当sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=时,S最大.

    所以,当θ=+arccos时,S最大,

    S的最大值为.

    解法二:因为S=2sinθcosθ-cos²θ,

    所以S′=2cos²θ-2sin²θ+2sinθcosθ=2cos2θ+sin2θ.

    令S′=0,即2cos2θ+sin2θ=0,

    可解得θ=+arctan(-2).

    所以,当θ=+arctan(-2)时,S最大,S的最大值为.