Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，公差d≠0，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件列式求出等差数列的公差，然后直接代入等差数列的通项公式求解；
（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，然后利用裂项相消法证明

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

＜

3

4

．

解答：解：由a₁，a₄，a₁₃成等比数列，得a42=a1a13，
即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，所以a12+6a1d+9d2=a12+12a1d．
9d²=6a₁d，a1=

3

2

d．则d=

2

3

a1=

2

3

×3=2．
（Ⅰ）a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=3n+n2-n=n(n+2)．
则

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
所以

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

＜

3

4

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，训练了利用裂项相消法求数列的和，考查了利用放缩法证明不等式，是中档题．