Question

已知cosα=

1

3

，cos（α+β）=-

1

3

，且α，β∈（0，

π

2

），则cos（α-β）的值等于（　　）

• A、-

  1

  2

• B、

  1

  2

• C、-

  1

  3

• D、

  23

  27

Answer 1

分析：要求cos（α-β），首先把角α-β变为2α-（α+β），即要求出cos2α和sin2α，sin（α+β）的值，分别表示出2α和α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系分别求出，然后利用两角差的余弦函数公式代入求值即可．

解答：解：∵α∈（0，

π

2

），∴2α∈（0，π）．
∵cosα=

1

3

，∴cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，∴sin2α=

1-cos22α

=

4 2

9

，
而α，β∈（0，

π

2

），∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

1-cos2(α+β)

=

2 2

3

，
∴cos（α-β）
=cos[2α-（α+β）]
=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）
=（-

7

9

）×（-

1

3

）+

4 2

9

×

2 2

3

=

23

27

．
故选D

点评：本题的解题思路是把α-β变为2α-（α+β），然后根据两角差的余弦函数公式把分别要求的三角函数值求出代入．做题时要注意角度的选取．