Question

已知函数f（x）=x³-（1-a）x²-（a-1）x-1-lnx
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=-x-2013垂直，求实数a的值；
（2）当a=2时，求函数g（x）=f′（x） 的单调区间；
（3）试讨论函数h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-）x+的单调区间．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，
因为函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=-x-2013垂直，所以f′（2）=2，
即4-2（1-a）-（a-1）-=2，解得a=-，
所以a=-．
（2）当a=2时，g（x）=f′（x）=，
g′（x）=2x+1+，因为x∈（0，+∞），所以g′（x）＞0，
故g（x）的单调增区间是∈（0，+∞）．
（3）h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-）x+=，
h′（x）==3[x-（a-）]（x-），
①当a-=即a=1时，h′（x）=≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a-＜≤0即a≤-时，由h′（x）＞0?x＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a-≤0＜即-＜a时，由h′（x）＞0?x＞，由h′（x）＜0?0＜x＜，函数h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
④当0＜a-＜即＜a＜1时，由h′（x）＞0?0＜x＜a-或x＞，函数h（x）在（0，a-），（，+∞）上单调递增，在（a-，）上单调递减；
⑤当a-＞即a＞1时，由h′（x）＞0?0＜x＜或x＞a-，函数h（x）在（0，），（a-，+∞）上单调递增，在（，a-）上单调递减；
综上，当a=1时，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；当＜a＜1时，函数h（x）的增区间是（0，a-），（，+∞），减区间是（a-，）；
当-＜a时，函数h（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）；当a≤-时，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，函数h（x）的增区间是（0，），（a-，+∞），减区间是（，a-）．
分析：（1）由函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=-x-2013垂直，知f′（2）=2，由此可求a值；
（2）当a=2时，可求g（x），利用导数与函数单调性的关系可求其单调区间；
（3）求出h′（x），然后利用导数与函数单调性的关系解含参的二次不等式即可．
点评：本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性的关系，考查含参的二次不等式的解法及分类讨论思想，难度较大．