Question

设数列{b_n}满足：，b_n+1=b_n²+b_n，
（1）求证：；
（2）若T_n=++…+，对任意的正整数n，3T_n-log₂m-5＞0恒成立．求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1））要证明，只要能证b_n+1=b_n（b_n+1），而 由已知：b_n+1=b_n²+b_n，推导即可
 （2）由（1）可求得 ，结合数列的特点考虑利用裂项求和，从而可得数列{b_n}是单调递增数列，最后将恒成立问题转化为最值问题求解即可
解答：解：（1）∵，b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），
∴对任意正整数n＞0，有即：．…（4分）
（2）Tn=（）+（）+…+（）==2-．…（7分）
∵b _n+1-b_n=b_n²＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{b_n}是单调递增数列．
∴数列{Tn}关于n递增．∴T_n≥T₁．…（10分）
∵，∴
∴…（12分）
∴
∵3T_n-log₂m-5＞0恒成立，∴log₂m＜3T_n-5恒成立，
∴log₂m＜-3…（14分）
∴．…（16分）
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，数列求和中的裂项求和，属于基本方法的应用．