Question

在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=75°，D是∠ABC平分线上的一点，且DB=DC．若BC=

6

，则AD=

5

．

Answer 1

分析：如图所示，在△ABC中，由正弦定理可得：

AB

sin∠BCA

=

BC

sin∠BAC

，可得AB．由D是∠ABC平分线上的一点，可得∠ABD=∠DBC=

1

2

(180°-45°-75°)=30°．
在△DBC中，由DB=DC，可得∠DBC=∠DCB=30°，利用正弦定理可得

DB

sin30°

=

BC

sin120°

，得出DB．
在△ADB中，由余弦定理可得：AD²=AB²+DB²-2AB•DBcos30°即可得出AD．

解答：解：如图所示，在△ABC中，由正弦定理可得：

AB

sin∠BCA

=

BC

sin∠BAC

，∴AB=

6 sin75°

sin45°

=

6 +3 2

2

．
∵D是∠ABC平分线上的一点，∴∠ABD=∠DBC=

1

2

(180°-45°-75°)=30°．
∴在△DBC中，DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴由正弦定理可得

DB

sin30°

=

BC

sin120°

，∴DB=

6 × 1 2

3 2

=

2

．
在△ADB中，由余弦定理可得：AD²=AB²+DB²-2AB•DBcos30°=5，
∴AD=

5

．
故答案为

5

．

点评：熟练掌握正弦定理、余弦定理、角平分线的性质等是解题的关键．