Question

已知点F₁，F₂是双曲线C的两个焦点，过点F₂的直线交双曲线C的一支于A，B两点，若△ABF₁为等边三角形，则双曲线C的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据双曲线的定义算出|BF₁|=4a，|BF₂|=6a．在△BF₁F₂中，由余弦定理可得算出c=

7

a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．

解答：解：如图所示，|BF₂|-|BF₁|=2a，|AF₁|-|AF₂|=2a，
∵△ABF₁为等边三角形，∴|AB|=|AF₁|=|BF₁|，
∴|BF₂|-|AF₂|=4a=|AB|．
∴|BF₁|=4a，|BF₂|=6a．
在△BF₁F₂中，由余弦定理可得（2c）²=（4a）²+（6a）²-2•4a•6a•cos60°，
∴c=

7

a，
∴e=

c

a

=

7

．
故答案为：

7

．

点评：本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．