Question

用数学归纳法证明：

tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n≥2，n∈N₊)．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)当n＝2时，左边＝tanα×， 　　右边＝， 　　等式成立． 　　(2)假设当n＝k时(k≥2，k∈N+)等式成立，即 　　tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＝－k， 　　则当n＝k＋1时， 　　tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α 　　＝－k＋tankα·tan(k＋1)α．(*) 　　因tanα＝tan[(k＋1)α－kα] 　　＝，得 　　tankαtan(k＋1)α＝． 　　代入(*)式，得 　　右边＝－(k＋1)， 　　即tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α＝－(k＋1)． 　　这就是说，当n＝k＋1时等式成立． 　　根据(1)(2)可知，对任意n≥2，n∈N+，等式成立．