Question

已知函数，其中常数．

（1）求的单调区间；

（2）如果函数在公共定义域D上，满足，那么就称 为与的“和谐函数”．设，求证：当时，在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个．

 

Answer 1

【答案】

（1）,的单调递增区间是和，单调递减区间是    

,单调递增区间是  ,,单调递增区间是和，单调递减区间是  

（2）作差构造新函数证明.

【解析】

试题分析：（1） ，常数）

令，则，                 

①当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是           

②当时，，故的单调递增区间是         

③当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是        

（2）令，

令，则，           

因为，所以，且

从而在区间上，，即在上单调递减       

所以               

又，所以，即       

设（，则

所以在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个   

考点：类比推理；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

点评：本题主要以新定义为载体，综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解，考查了利用已学知识解决新问题的能力，考查了推理运算的能力，本题综合性较强．