Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD。

（1）求证：AF⊥平面BCF；
（2）求二面角B-FC-D的大小。

Answer 1

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形， 即CB⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB， ∴CB⊥平面ABFE，而AF平面ABFE， ∴CB⊥AF， 又∵AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1， ∴ 即AB2=AF2+BF2， ∴AF⊥FB 而CB∩FB=B ∴AF⊥平面BCF。
（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°， 即EA⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB， ∴EA⊥平面ABCD，而AD平面ABCD， ∴EA⊥AD， 过点A作AG⊥DE，交DE于G，如图 又∵BA⊥EA，BA⊥AD，EA∩AD=A， ∴BA⊥平面ADE， ∵CD∥BA， ∴CD⊥平面ADE， 而AC平面ADE， ∴CD⊥AE， 又DE∩CD=D， ∴AG⊥平面CDEF 由（1）知，AF⊥平面BCF， ∴∠FAG与二面角B-FC-D的平面角互补 在Rt△EAD中，∵EA=AD=1，AG⊥DE， ∴ 连接FG，由EF∥AB知，EF⊥平面ADE， ∴EF⊥DE， ∴ 又由（1）知， 在△AFG中， ∴∠FAG=60°， 于是二面角B-FC-D的大小为120°。