Question

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求ϕ和ω的值．

Answer 1

考点：

已知三角函数模型的应用问题．

专题：

计算题；压轴题；数形结合．

分析：

由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点对称可得函数关系，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．

解答：

解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），

即sin（﹣ωx+∅）=sin（ωx+∅），

所以﹣cos∅sinωx=cos∅sinωx，

对任意x都成立，且w＞0，

所以得cos∅=0．

依题设0＜∅＜π，所以解得∅=，

由f（x）的图象关于点M对称，

得，

取x=0，得f（）=sin（）=cos，

∴f（）=sin（）=cos，

∴cos=0，又w＞0，

得=+kπ，k=1，2，3，

∴ω=（2k+1），k=0，1，2，

当k=0时，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，满足题意；

当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；

当k=2时，ω=，f（x）=（x+）在[0，]上不是单调函数；

所以，综合得ω=或2．

点评：

本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．