Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-3a²+a．
（1）若a=1，求函数f（x）在[-1，4]上的最值；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入函数，求出其导函数，得到其极值点，通过比较极值和端点值的大小即可得到函数f（x）在[-1，4]上的最值；
（2）先求出其导函数，得到其极值点，列出x，f（x），f′（x）的变化值表，根据表即可得到函数f（x）的单调区并求出极值．

解答：解：（1）当a=1，f（x）=x³-3x²-2，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）------------（2分）
由f′（x）=0，得x=0或x=2．-----------------（3分）
又f（0）=-2，f（2）=-6，f（-1）=-6，f（4）=14．
∴f（x）在在[-1，4]上最大值为14； 最小值为-6．-----------------（5分）
（2）若a＞0，f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令f′（x）=0，得x=0，x=2a，----（7分）
列出x，f（x），f′（x）的变化值表
  …（9分）
由表可知：函数f（x）的单调增区间：（-∞，0）（2a，+∞）；单调减区间（0，2a）；-----（10分
所以：f（x）_极大值=f（0）=-3a+a，
f（x）_极小值=f（2a）=-4a³-3a²+a-----（12分）

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．