Question

在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=2AD.求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值.

Answer 1

剖析:显然,本题中的二面角只有一个公共顶点,属“无棱二面角”,若从定义法入手,必须再找一个公共点,容易发现BA、CD相交,可得交点E,则SE为二面角的棱.

解法一:(定义法)如图,延长BA、CD交于E,连结SE,则SE为所求二面角的棱.

    ∵AD∥BC,BC=2AD,

    ∴EA=AB=SA.

    ∴△ESB是直角三角形,且SE⊥SB.

    又BC⊥AB,BC⊥SA,∴BC⊥平面SBE.

    ∴SB是SC在面SBE上的射影.

    ∴SE⊥SC.

    ∠BSC是所求二面角的平面角.

    在Rt△SAB中,易得SB=AB.

    在Rt△SBC中,SC==AB.

    cos∠BSC==,即面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为.

解法二:(射影法)如上图,∵SA⊥面ABCD,∴SA⊥BC.

    又AB⊥BC,∴BC⊥面SAB,而AD∥BC,

    ∴AD⊥面SAB.

    ∴△SDC在面SAB上的射影是△SAB.

    于是cosθ=.

    ∵SA=AB=BC=2AD,

    ∴SB=AB,SC=AB.

    SD=DC=AB,

    易求得△SDC中SC边上的高为,

    ∴S_△SDC=AB²,S_△SAB=AB².∴cosθ=.

    故所求二面角的余弦值是.