Question

设直线l：mx+ny-1=0（m，n∈R⁺）与x轴相交于点A，与y轴相交于B，且l与圆x²+y²=19相交所得弦的长为2，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：根据直线l方程求出A与B坐标，根据弦长为2，圆心到直线的距离为d，录用垂径定理及勾股定理求出d的值，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，列出关于m与n的关系式，利用基本不等式求出mn的最小值，进而确定出三角形AOB面积的最小值，以及此时m与n的值，即可确定出此时直线l的方程．
解答：解：由题设可知，直线l与两坐标轴的交点坐标为A（0，），B（，0），
∵直线l与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d，
∴d²=r²-1²=19-1=18，
∴d=3，即圆心（0，0）到直线mx+ny=1的距离d==3，
∴m²+n²=，
∵m，n∈R⁺，∴三角形的面积为S_△AOB=，
又m²+n²≥2mn＞0，∴≥≥18，
当且仅当m=n=时取等号，∴（S_△AOB）_min=18，
此时直线l的方程为x+y-6=0．
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．