Question

f（x）=（m-1）x²+mx+c
（1）若f（x）是偶函数，求m；
（2）若f（x）的零点是2，3，求m，c；
（3）函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求m的范围．

Answer 1

解：（1）由f（x）为偶函数可得，f（-x）=f（x）对于任意的x都成立
代入可得，（m-1）（-x）²+m（-x）+c=（m-1）x²+mx+c恒成立
即mx=0恒成立
∴m=0
（2）∵f（x）的零点是2，3
∴x=2，x=3是方程（m-1）x²+mx+c=0的根
根据方程的根与系数的关系可得，
∴，c=-1
（3）（i）若m-1=0即m=1时，f（x）=x+c在[2，+∞）单调递增，符合题意
（ii）若m-1≠0则
解可得，m＞1
综上可得，m≥1
分析：（1）由f（x）为偶函数可得，f（-x）=f（x）对于任意的x都成立，代入可求m
（2）由f（x）的零点是2，3，可知x=2，x=3是方程（m-1）x²+mx+c=0的根，根据方程的根与系数的关系可求m，c
（3）（i）若m-1=0即m=1时，f（x）=x+c在[2，+∞）单调递增，符合题意（ii）若m-1≠0则根据二次函数的性质可得，，从而可求m的范围
点评：本题主要考察了偶函数的 定义的应用，函数的零点与方程的 根的相互转化，方程的根与系数关系的应用及二次函数的单调性的应用．