Question

如图所示，从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为d₁、d₂、d₃、d₄，且相应各面上的高分别为h₁、h₂、 h₃、h₄，求证：。

Answer 1

证明：平面上与空间中相类似的情形是： 从三角形内部任意一点向各边引垂线，其长度分别为d1、d2、d3， 且相应各边上的高分别为h1、h2、h3。 求证： 此题证明的方法是将两个同底三角形高的比转化为面积之比， 如图所示有： 将上面三式相加即得结论： 由平面上的证明方法类比联想就可解决空间中的情形： 将同底的两个三棱锥高的比转化为体积之比， 事实上，如图所示，容易证明： 将上面各式相加即得结论。