Question

（2012•泰州二模）各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₁a₇=4，a₆=8，若函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′（x），则f′(

1

2

)=

55

4

．

Answer 1

分析：利用等比数列和等差数列的通项公式、导数的运算法则即可得出．

解答：解：由各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₁a₇=4，a₆=8，设公比为q＞0，于是

a12q6=4 a1q5=8

，解得

a1= 1 4 q=2

，
∴an=

1

4

×2n-1=2n-3．
∴f^′（x）=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9，
∵nan(

1

2

)n-1=n×2^n-3×2^1-n=

n

4

，
∴f′(

1

2

)=

1

4

+

2

4

+…+

10

4

=

10×11

2

×

1

4

=

55

4

．
故答案为

55

4

．

点评：熟练掌握等比数列和等差数列的通项公式、导数的运算法则是解题的关键．