Question

已知△ABC内角A、C、B成等差数列，A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=3，若向量

p

=（1，sinA）与

q

=（2，sinB）共线，求a，b的值及△ABC的面积．

Answer 1

分析：由A、C及B成等差数列，利用三角形的内角和定理及等差数列的性质得到C的度数，再由两向量共线，利用两向量共线时满足的条件列出关系式，利用正弦定理化简后得到b=2a，记作①，由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式，记作②，联立①②得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：∵内角A、C、B成等差数列，且A+C+B=π，
∴C=

π

3

，…（2分）
∵向量

p

=（1，sinA）与

q

=（2，sinB）共线，
∴sinB-2sinA=0，…（4分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=2a①，…（6分）
∵c=3，由余弦定理得：9=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=9②，…（8分）
解①②组成的方程组，解得：

a= 3 b=2 3

，…（10分）
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×2

3

×sin

π

3

=

3 3

2

．…（12分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．