Question

设函数f（x）=e^xsinx
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，根据各段内导函数的符号得原函数的单调区间；
（2）由导数求出函数f（x）=e^xsinx在（0，π）内的极值，比较端点处的函数值后得函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）=

2

exsin(x+

π

4

)．
由f′（x）≤0，得sin(x+

π

4

)≤0，
∴2kπ≤x+

π

4

≤2kπ+2π，即2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

．
∴f（x）的单调减区间为[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

]，k∈Z；
（2）∵x∈[0，π]，
由（1）知，x∈[0，

3π

4

]是单调增区间，x∈[

3π

4

，π]是单调减区间，又f(0)=0，f(π)=0，f(

3

4

π)=

2

2

e

3

4

π，
∴fmax=f(

3π

4

)=

2

2

e

3π

4

，f_min=f（0）=f（π）=0．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．属难题．