Question

已知函数f（x）=x³-（a+b）x²+abx，（0＜a＜b）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，0）处的切线的倾斜角为

3π

4

，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在区间[0，3]上的最值．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，0）处的切线的斜率等于-1，建立关于a和b的方程组，解之即可；
（II）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
由条件得

f(1)=0 f′(1)=-1

，即

1-(a+b)+ab=0 3-2(a+b)+ab=-1

，
解得a=1，b=2或a=2，b=1，因为a＜b，所以a=1，b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-3x²+2x，f′（x）=3x²-6x+2，
令f'（x）=3x²-6x+2=0，解得x1=1-

3

3

，x2=1+

3

3

．
在区间[0，3]上，x，f′（x），f（x）的变化情况如下：

所以f（x）_max=6；f（x）_min=-

2 3

9

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值，导数高考新增内容，是常考的知识点，属于基础题．