Question

8．g（x）=$\sqrt{2}$^2x-1，g（x）≤t²-2mt+1对所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 化简g（x）=$\sqrt{2}$^2x-1=2^x-1；从而求得g_max（x）=g（1）=2-1=1；从而化恒成立为2mt≤t²对所有的m∈[-1，1]恒成立；再讨论t以化为函数的最值问题即可．

解答 解：g（x）=$\sqrt{2}$^2x-1=2^x-1；
故g_max（x）=g（1）=2-1=1；
故g（x）≤t²-2mt+1对所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立可化为
1≤t²-2mt+1对所有的m∈[-1，1]恒成立；
即2mt≤t²对所有的m∈[-1，1]恒成立；
当t=0时，2mt≤t²对所有的m∈[-1，1]恒成立；
当t＜0时，m≥$\frac{t}{2}$对所有的m∈[-1，1]恒成立；
故$\frac{t}{2}$≤-1，即t≤-2；
当t＞0时，m≤$\frac{t}{2}$对所有的m∈[-1，1]恒成立；
故$\frac{t}{2}$≥1，即t≥2；
综上所述，实数t的取值范围为
（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评 本题考查了恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．