Question

如图，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D是棱的中点.

   （I）求点B到平面A₁C₁CA的距离；

   （II）求二面角B―A₁D―A的大小.

Answer 1

解：（I）∵ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴CC₁⊥底面ABC.

∴CC₁⊥BC.

∵AC⊥BC，

又AC∩CC₁ = C,

∴BC⊥平面A₁C₁CA.

∵BC = 2，

∴点B到平面A₁C₁CA的距离为2.

   （II）分别延长AC、A₁D交于点G，

过C作CM⊥A₁G于M，连结BM.

∵BC⊥平面A₁C₁CA，

∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影.

根据三垂线定理，得BM⊥A₁G.

∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角.

在平面A₁C₁CA中，

∵C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，

∴CG = 2， DC = 1.

在Rt△DCG中，CM =    

即二面角B―A₁D―A的大小为

解法二：

   （I）同解法一

   （II）在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC⊥BC，分别以向量、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

     C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），  

 C₁（0，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1）

    ，设平面A₁BD的一个法向量为，则

   

    令，即

   

    又平面A₁C₁CA的一个法向量为

    ，

    即二面角B―A₁D―A的大小为