Question

已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0，f(1)=-

1

2

．
（1）求证：f（x）在R上是减函数；
（2）求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设x∈R，t＞0，x+t＞x，利用作差，结合f（x）+f（y）=f（x+y），即可证得结论；
（2）确定函数为奇函数，从而可求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

解答：（1）证明：设x∈R，t＞0，x+t＞x，则

f(x+t)-f(x)=f(x)+f(t)-f(x)=f(t)

∵t＞0，∴f（t）＜0，f（x+t）＜f（x）
∴f（x）在R上是减函数
（2）解：由（1）知f（x）在R上是减函数
∴f（x）在[-2，2]上单调递减，
令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0+0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
∴f（x）_min=f（2）=f（1）+f（1）=-1，f（x）_max=f（-2）=-f（2）=1

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确运用单调性的证题步骤．