Question

如图,在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,AA₁=,AB=1,E是DD₁的中点.

(1)求证:AC⊥B₁D;

(2)求二面角E-AC-B的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:连结BD.

∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱,

∴B₁B⊥平面ABCD.

∴BD是B₁D在平面ABCD上的射影.

∵AC⊥BD,

根据三垂线定理,得AC⊥B₁D.

(2)设AC∩BD=F,连结EF.

∵DE⊥平面ABCD,且AC⊥BD,

根据三垂线定理得AC⊥FE,

又AC⊥FB,

∴∠EFB是二面角EACB的平面角.

在Rt△EDF中,由DE=DF=,得∠EFD=45°.

∴∠EFB=180°-45°=135°,

即二面角E-AC-B的大小是135°.

解法二:∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱,

∴DA、DC、DD₁两两互相垂直.

如图,以D为原点,直线DA,DC,DD₁分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.

D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B₁(1,1,).

(1)证明:∵=(-1,1,0),=(1,1,),

∴·=0.

∴AC⊥B₁D.6分

(2)连结BD,设AC∩BD=F,连结EF.

∵DE⊥平面ABCD,且AC⊥BD,

∴AC⊥FE,AC⊥FB.

∴∠EFB是二面角EACB的平面角.

∵底面ABCD是正方形,

∴F(,,0).

∴=(,,0),=(,,).

∴cos〈,〉=,