Question

若函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为

16

．

Answer 1

分析：由题意得f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（-∞，-2-

5

）、（-2，-2+

5

）上是增函数，在区间（-2-

5

，-2）、（-2+

5

，+∞）上是减函数，结合f（-2-

5

）=f（-2+

5

）=16，即可得到f（x）的最大值．

解答：解：∵函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，
∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，
即[1-（-3）²][（-3）²+a•（-3）+b]=0且[1-（-5）²][（-5）²+a•（-5）+b]=0，
解之得

a=8 b=15

因此，f（x）=（1-x²）（x²+8x+15）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15
求导数，得f'（x）=-4x³-24x²-28x+8
令f'（x）=0，得x₁=-2-

5

，x₂=-2，x₃=-2+

5

当x∈（-∞，-2-

5

）时，f'（x）＞0；当x∈（-2-

5

，-2）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，-2+

5

）时，f'（x）＞0； 当x∈（-2+

5

，+∞）时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（-∞，-2-

5

）、（-2，-2+

5

）上是增函数，在区间（-2-

5

，-2）、（-2+

5

，+∞）上是减函数
又∵f（-2-

5

）=f（-2+

5

）=16
∴f（x）的最大值为16
故答案为：16

点评：本题给出多项式函数的图象关于x=-2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．