Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知利用递推公式可得a_n，代入分别可求数列b_n的首项b₁，公比q，从而可求b_n
（II）由（I）可得c_n=（2n-1）•4^n-1，利用乘“公比”错位相减求和．
解答：解：（1）：当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2，即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差数列．
设{b_n}的通项公式为q，则b₁qd=b₁，d=4，∴q=．
故b_n=b₁q^n-1=2×，即{b_n}的通项公式为b_n=．
（II）∵c_n===（2n-1）4^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=1+3×4¹+5×4²+…+（2n-1）4^n-1
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-3）4^n-1+（2n-1）4ⁿ
两式相减得，3T_n=-1-2（4¹+4²+4³+…+4^n-1）+（2n-1）4ⁿ=[（6n-5）4ⁿ+5]
∴T_n=[（6n-5）4ⁿ+5]
点评：（I）当已知条件中含有s_n时，一般会用结论来求通项，一般有两种类型：①所给的s_n=f（n），则利用此结论可直接求得n＞1时数列{a_n}的通项，但要注意检验n=1是否适合②所给的s_n是含有a_n的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于a_n的递推关系，再用求通项的方法进行求解．
（II）求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点．