Question

已知△ABC中，

3

tanA•tanB-(tanA+tanB)=

3

，且外接圆半径R=1．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知条件利用两角和差的正切公式求得△ABCtan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，再由诱导公式、三角形内角和公式求得tanC=

3

，从而求得C 的值．
（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得c的值．再由三角形任意两边之和大于第三边，以及a+b=
2sinA+2sinB=2

3

cos

A-B

2

≤2

3

，求得△ABC周长a+b+c的取值范围．

解答：解：（1）∵已知△ABC中，

3

tanA•tanB-(tanA+tanB)=

3

，
∴

3

tanA•tanB-tan(A+B)(1-tanAtanB)=

3

，
即

3

tanA•tanB+tanC(1-tanAtanB)=

3

，即

3

tanA•tanB+tanC-tanAtanBtanC=

3

．
再由△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 可得，tanA+tanB=

3

 （tanA•tanB-1），
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

=-tanC，∴tanC=

3

，C=

π

3

．
 （2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得 c=2R•sinC=

3

．
由于三角形任意两边之和大于第三边，∴a+b＞c=

3

，
故△ABC周长大于2

3

．
再由a+b=2sinA+2sinB=2（sinA+sinB）=2×2sin

A+B

2

•cos

A-B

2

 
=4sin

π

3

•cos

A-B

2

=2

3

cos

A-B

2

≤2

3

，（当且仅当A=B时，取等号）．
可得三角形的周长 a+b+c≤2

3

+

3

=3

3

，
故△ABC周长的取值范围为（2

3

，3

3

]．

点评：本题主要考查两角和差的正切公式，诱导公式以及正弦定理的应用，属于中档题．