Question

设a₁、d为实数，若首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前n项的和为S_n，满足S₅•S₆=-15，则a₁的取值范围是

(-∞，-2

10

]∪[2

10

，+∞)

．

Answer 1

分析：由已知，得到（5a₁+10d）（6a₁+15d）=-15，即30d²+27a₁d+6a₁²+3=0，将此式看作关于d的一元二次方程，利用△≥0 去求a₁ 的取值范围．

解答：解：∵S₅•S₆=-15，由等差数列的前n项公式得（5a₁+10d）（6a₁+15d）=-15，
展开并化简整理得30d²+27a₁d+6a₁²+3=0，将此式看作关于d的一元二次方程，a₁为系数．
∵a₁、d为实数，∴△=27a₁ ²-4×30×（6a₁²+3 ）≥0．化简整理得a₁²-40≥0，∴a₁ ∈(-∞，-2

10

]∪[2

10

，+∞)
故答案为：(-∞，-2

10

]∪[2

10

，+∞)．

点评：本题考查等差数列的前n项公式，一元二次方程根存在的判定，一元二次不等式的解法．本题的关键是用方程的眼光看待 30d²+27a₁d+6a₁²+3=0．本题还可以求d的取值范围，请读者自行解答．