Question

若a，b∈R⁺，a+b=1，则ab+

1

ab

的最小值为

17

4

．

Answer 1

分析：利用基本不等式和a+b=1，求出ab的取值范围，令t=ab，再利用函数y=t+

1

t

的单调性，即可求出函数的最小值．

解答：解：∵a，b∈R⁺，且a+b=1，
∴1=a+b≥2

ab

，
∴0＜ab≤

1

4

，
当且仅当a=b=

1

2

时取“=”，
令t=ab，则t∈（0，

1

4

]，
∴y=ab+

1

ab

=t+

1

t

，
∵y=t+

1

t

在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
∴y=t+

1

t

在（0，

1

4

]上单调递减，
∴当t=

1

4

时，y取得最小值

1

4

+4=

17

4

，
∴ab+

1

ab

的最小值为

17

4

．
故答案为：

17

4

．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．